y'' - 2y' + y = 3sin(2x)

y'' - 2y' + y = 3sin(2x)

Step1: 특성방정식

r² - 2r + 1 = 0

(r - 1)² = 0

r = 1 (중근)

일반해 y_h = (c₁ + c₂x)e^x

Step2: 미정계수법

y_p = A cos(2x) + B sin(2x)

y_p' = -2A sin(2x) + 2B cos(2x)

y_p'' = -4A cos(2x) - 4B sin(2x)

원 식에 대입

y'' - 2y' + y = 3sin(2x)

(-4A cos(2x) - 4B sin(2x) ) - 2(-2A sin(2x) + 2B cos(2x)) + (A cos(2x) + B sin(2x)) = 3sin(2x)

(-3A - 4B) cos(2x) + (4A - 3B - 3) sin(2x) = 0

(-3A - 4B) = 0

(4A - 3B - 3) = 0

A = -4B/3

A(-4B/3) - 3B = 3

B = -9/25, A = (-4/3)(-9/25) = 12/25

y = (c₁+c₂x)e^x + (12/25) cos(2x) - (9/25) sin(2x)

pdf compress

pdf 파일 압축하는 프로그램 여럿 있다.

그 중 하나가 Adobe 에 있다. 원래의 파일을 인터넷으로 전송하면 그 파일을 압축해서 내려받는 방식.

다른 곳도 여럿 있는데, 비교해보고 편한 것으로 골라 쓰면 될 듯.

y''-4y'+8y=0

y'' - 4y' + 8y=0

Step1:

r² - 4r + 8 = 0

Step2:

r = ( -(-4)±√(-4)² - 4x1x8 ) / (2x1)

r = ( -(-4)±√-16 ) / (2x1)

r = 2 ± 2i

Step 3:

y = e^ax(c₁ cos(bx) + c₂ sin(bx))

Substitute a = 1, b = 2

y = e^2x(c₁ cos(2x) + c₂ sin(2x))

DE y''-5y-14=0

Differential Equation  y'' - 5y - 14 = 0 을 풀어라

Step 1: r² - 5r - 14 = 0

Step 2: (r+2)(r-7) = 0. So, r = -2 or r = 7

Step 3: y = c₁e^-2x + c₂e^7x

convolution

Convolution 정의 주의

(f*g)(t) = ∫_-∞^∞ f(𝜏) g(t-𝜏) dt

위의 정의에서 주의할 것이 있다.

컴퓨터에서 곱하기를 *로 표시하는데(영어 소문자 x와 구별하기 위함), 수학에서 convolution을 나타낼 때도 * 기호를 쓴다.

수학에서는 위와 같이 f(𝜏)와 g(t-𝜏) 사이에 * 표시를 넣지 않으면 곱하기로 알고 있으면 된다.

컴퓨터 프로그램에서는 * 표시를 생략하면 안 된다. 

수학에서 convolution 나타내는 기호 *와 컴퓨터 프로그램에서 쓰는 기호 *는 같은 기호를 쓰지만, 뜻이 다르므로 주의.