Fourier series exta

Fourier seriese

다음 함수를 Fourier 급수로 전개하라

f(x) = x, -1 < x < 1

1단계

f(x)=x 는 기함수(odd fuction) 이므로 Fourier 급수는 sin 항만 포함

f(x) = Σ ∞ n=1 b_n sin(n𝜋x)

2단계: b_n 계산하기

b_n = ∫ 1 -1 x sin(n𝜋x) dx

x sin(n𝜋x)는 기함수이므로

b_n = 2 ∫ 1 0 x sin(n𝜋x) dx

부분적분 이용

u = x 로 놓으면 du = dx

dv=sin(n𝜋x) dx, v= -(1/n𝜋) cos(n𝜋x)

b_n =2(-x/(n𝜋) cos(n𝜋x) | 1 0 + 1/(n𝜋) ∫ 1 0 x cos(n𝜋x) dx )

-x/(n𝜋) cos(n𝜋x) | 1 0 = -1/(n𝜋) + 0 = -(-1)ⁿ/(n𝜋)

1/(n𝜋) ∫ 1 0 x cos(n𝜋x) dx = 1/(n𝜋) sin(n𝜋x) = 0

b_n = 2(-1)ⁿ⁺¹ n𝜋

f(x) = Σ ∞ n=1 2(-1)ⁿ⁺¹ n𝜋 sin(n𝜋x)