미분방정식 하나. 어떻게 풀어야 하나?
문제: dy/dx = (xy + 2y + x - 2)/(xy - 3y + x - 3)
주. 수학에서 xy라고 쓰면 x 곱하기 y를 뜻한다. 그런데, 컴퓨터 프로그램에서 이렇게 xy라고 쓰면 하나의 변수 xy를 나타낸다. x 곱하기 y 는 x*y로 쓴다. 이 글에서는 일반적인 수학 표기를 따른다.
주의. 이 글에는 풀이 과정이 있음. 스스로 문제를 풀어보고 싶은 사람은 아래 글을 미리 읽지 마시오. 제 글에 의견 있으면 댓글 환영.
이 글 복사 붙이기 하는 건 상관 없지만 출처는 밝혀주시기 바랍니다.
1단계. 분자와 분모를 각각 인수분해
우변 분자: (xy + 2y + x -2) = (x + 2)(y - 1)
우변 분모: (xy - 3y + x -3) = (x - 3)(y + 1)
dy/dx = (x + 2)(y - 1)/(x - 3)(y + 1)
(x - 3)(y + 1) dy = (x + 2)(y - 1) dx
2단계. x는 x끼리 y는 y끼리. 그러기 위해 양변을(x-3)(y-1)로 나눔
(y + 1)/(y - 1) dy = (x + 2)/(x - 3)dx
(y - 1)/(y - 1) + 2/(y-1) dy = (x - 3)/(x - 3) + 5/(x - 3) dx
1 + 2/(y-1) dy = 1 + 5/(x - 3) dx
3단계. 양변 적분
∫(1 + 2/(y - 1))dy = ∫(1 + 5/(x - 3))dx
y + 2ln |y - 1| = x + 5ln |x - 3| + c
여기서 ln은 자연로그
답: y + 2ln |y - 1| = x + 5ln |x - 3| + c
댓글 없음:
댓글 쓰기